ACT数学公式完全手册：核心考点梳理与备考实用技巧
准备走留学赛道的同学基本都清楚，ACT数学部分在很多人眼里属于"中国学生的优势科目"，但每年真正上考场之后，还是有不少人因为公式记混、概念模糊而在数学部分丢分。尤其是这两年，选择ACT赛道的留学生明显多了起来——一方面SAT在国内的考场安排时有变动，不少同学转投ACT；另一方面ACT数学更侧重对系统知识的考查，只要公式扎实、题型练够，拿高分其实比很多人想象中要容易。
作为备考路上的一份实用资料，今天把ACT数学考试中所有高频出现的公式，按知识板块逐一捋清楚，方便大家考前集中过一遍，查漏补缺。
一、行列式（Determinant）
行列式在ACT数学中属于代数板块的基础考点，主要出现在二阶和三阶行列式的计算题里。
二阶行列式的计算规则很简单——"主对角线乘积减去副对角线乘积"：
| a b |
| c d | = ad − bc
三阶行列式一般用沙路法（Sarrus法则）来算，把前两列抄到右边，三条主对角线方向相乘取正号，三条副对角线方向相乘取负号，最后加减即可。这个技巧记熟了，考场上能省不少时间。
二、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列在ACT数学里的出镜率非常高，核心记住两个公式就够了。
第n项公式：aₙ = a₁ + (n − 1)d
其中a₁是首项，d是公差。
求和公式有两个常用形式：
Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2
或者
Sₙ = na₁ + n(n − 1)d / 2
做题的时候先看题目给的是什么条件——给首项和末项就用第一个，给首项和公差就用第二个。理解上也不用死记，等差数列的本质是"平均项等于首末项的平均值"，把这个想通了，求和公式自然就记住了。
三、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列的考查频率也很高，核心公式如下。
第n项公式：aₙ = a₁ × r^(n−1)
其中r是公比。
求和公式需要分两种情况：
当r = 1时，数列每一项都相等，所以 Sₙ = n × a₁
当r ≠ 1时，Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)
也可以写成等价形式 Sₙ = a₁(rⁿ − 1) / (r − 1)
这里提醒一句，等比数列求和是考试里比较容易出陷阱的地方。有些题目会故意把r设为1，这时候就不能套通用公式了，一定要先判断公比的值再动手算。
四、正弦定理（The Law of Sines）
正弦定理用来解决已知角和边的三角形问题：
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
其中R是三角形外接圆半径。
这个定理在ACT数学中通常出现在解三角形的题目里，已知两角一边或者两边一对角的时候特别好用。需要注意的是，"两边一对角"的情况可能会出现两个解，做题的时候别急着写答案，先检查一下是否满足三角形内角和为180度的条件。
五、余弦定理（The Law of Cosines）
余弦定理可以看作是正弦定理的补充，当已知两边和夹角，或者已知三边求角的时候用：
c² = a² + b² − 2ab × cosC
其实这个公式就是勾股定理的推广——当C = 90度时，cosC = 0，余弦定理就退化成c² = a² + b²了。理解了这个关系，公式也好记，用法也清楚。
六、基本三角函数
ACT数学对三角函数的考查主要围绕六个基本函数展开：
sin（正弦）= 对边 / 斜边
cos（余弦）= 邻边 / 斜边
tan（正切）= 对边 / 邻边 = sin / cos
cot（余切）= 邻边 / 对边 = cos / sin = 1 / tan
sec（正割）= 斜边 / 邻边 = 1 / cos
csc（余割）= 斜边 / 对边 = 1 / sin
记忆方面，很多老师会教"SOH-CAH-TOA"这个口诀，其实就是把sin、cos、tan三个基本比值的定义首字母拼成了一个好记的词。
另外几个特殊角（30度、45度、60度）对应的三角函数值一定要熟记，考试中经常直接用到，背熟了能省不少翻表找值的时间。
七、对数函数（Logarithmic Functions）
对数函数在ACT数学中属于中等难度的考点，基本定义要记牢：
如果 bⁿ = x，那么 log_b(x) = n
其中b是对数的底数，要求b > 0且b ≠ 1。
对数运算的几个重要性质：
log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)
log_b(M/N) = log_b(M) − log_b(N)
log_b(Mⁿ) = n × log_b(M)
换底公式也很常用：
log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)
八、渐近线（Asymptotes）
渐近线分为竖直和水平两类，ACT数学中偶尔会考到。
竖直渐近线（Vertical Asymptote）：
对于对数函数y = log_b(x)，当x趋近于0时函数值趋向无穷大，所以x = 0是它的竖直渐近线。一般地，如果x = a使得函数无定义且函数值趋向无穷，那么x = a就是竖直渐近线。
水平渐近线（Horizontal Asymptote）：
看自变量x趋向正无穷或负无穷时函数值的趋向。比如y = (2x + 1) / (x − 3)，当x趋向无穷时，y趋向2，所以y = 2是水平渐近线。
九、三角函数的相位、振幅和周期
对于形如y = A × cos(ωx + φ)的函数：
- ωx + φ 称为相位（Phase）
- A 称为振幅（Amplitude），代表曲线的最大偏离值
- 周期 P = 2π / ω
ω决定了函数振动的快慢，ω越大周期越短，振动越快。振幅A决定了波峰波谷离中心线的距离。
十、n边形对角线条数
这个公式很简单但容易被忽略：
n边形的对角线条数 = n(n − 3) / 2
推导思路：从每个顶点可以引出(n − 3)条对角线（不能连自己和相邻的两个顶点），n个顶点一共n(n − 3)条，但每条对角线被算了两次，所以除以2。
十一、单位换算
ACT数学中偶尔会出现英制单位的换算题，虽然不算难点，但不熟悉的话容易丢分。
长度单位：
1 foot（英尺）= 12 inches（英寸）
1 yard（码）= 3 feet = 36 inches
1 mile（英里）= 5280 feet ≈ 1.609 km
重量单位：
1 pound（磅）= 16 ounces（盎司）
1 ton（吨）= 2000 pounds
十二、美元换算
ACT数学中涉及美国货币的题目，认识硬币和纸币的面值很重要：
Penny（1分）= $0.01
Nickel（5分）= $0.05
Dime（10分）= $0.10
Quarter（25分）= $0.25
Half dollar（50分）= $0.50
这些面值在实际应用题中经常出现，比如"买某样东西付了多少钱、找零多少"之类的题目，平时练习的时候多接触就能形成条件反射。
写在最后
ACT数学虽然被不少人称为"送分题"，但想要稳稳拿高分，光靠刷题是不够的，公式的熟练程度直接决定了做题速度和准确率。建议大家在考前把上面的公式过两到三遍，同时配合真题练习，把每个公式的常见考法都摸透。数学部分的提分其实是最快的——公式记住了，题型见够了，分数自然就上去了。
